Question

已知F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，点A（4，2）为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，|PA|+|PF|最小值为8．
（1）求该抛物线的方程；
（2）若直线x-y-3=0与抛物线交于B、C两点，求△BFC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义和三点共线时的性质即可求出；
（2）利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得出．

解答：解：（1）设d为点P到x=-

p

2

的距离，则由抛物线定义，|PF|=d，
∴当点P为过点A且垂直于准线的直线与抛物线的交点时，|PA|+|PF|取得最小值，即4+

p

2

=8，解得p=8．
∴抛物线的方程为y²=16x．
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），联立

x-y-3=0 y2=16x

得y²-16y-48=0，
显然△＞0，y₁+y₂=16，y₁y₂=-48．
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

162+4×48

=8

7

，
∴|BC|=

2

|y1-y2|=8

14

．
又∵F（4，0）到直线l的距离为

|4-3|

2

=

2

2

，
∴S△BFC=

1

2

|BC|•d=

1

2

×8

14

×

2

2

=4

7

．

点评：熟练掌握抛物线的定义、两线段长的和取得最小值的条件、直线与圆锥曲线相交时的弦长公式、点到直线的距离公式是解题的关键．