Question

一次研究性课堂上，老师给出函数f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数f（x）的值域为（-1，1）；
乙：若x₁≠x₂则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
丙：若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f₁（x）），则f_n（x）=

x

1+nx

，对任意的n∈N^*恒成立
你认为上述三个命题中正确的个数有（　　）

• A、3个
• B、2个
• C、1个
• D、0个

Answer 1

分析：利用奇函数的定义判断出f（x）为奇函数，通过对x的分段讨论去掉绝对值转化为分段函数，讨论x≥0的值域、单调性判断出甲、乙说的对利用已知的递推关系求出f_n（x），判断出丙的说法不对．

解答：解：∵f（-x）-f（x）
∴f（x）为奇函数
∵f(x)=

x

1+|x|

= 

x 1+x (x≥0) x 1-x (x＜0)

当x≥0时，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1)
∵f（x）为奇函数，
∴当x＜0是，f（x）∈（-1，0）
总之，f（x）∈（-1，1）
故甲对
当x≥0时，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1)为增函数，
∵f（x）为奇函数
∴当x＜0是，f（x）∈（-1，0）为增函数
所以f（x在（-1，1）上为增函数
故乙对
f_n（x）=f（f₁（x））=f（f（x）=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x

1+2|x|

=

x

1+nx

不恒成立
故丙不对
故选B

点评：通过对自变量分段讨论将含绝对值的函数转化为分段函数，解决分段函数的性质问题一般分段讨论研究．