Question

【题目】已知函数，,使得对任意两个不等的正实数，都有恒成立.

（1）求的解析式；

（2）若方程有两个实根，且，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意，在上单调递减，求导得，分类讨论的单调性，结合题意，得出的解析式；

（2）由为方程的两个实根，得出，，两式相减，分别算出和，利用换元法令和构造函数，根据导数研究单调性，求出，即可证出结论.

（1）根据题意，对任意两个不等的正实数，都有恒成立.

则在上单调递减，

因为，

当时，在内单调递减.，

当时，由，有，

此时，当时，单调递减，

当时，单调递增，

综上，，所以.

（2）由为方程的两个实根，

得，

两式相减，可得，

因此，

令，由，得，

则，

构造函数.

则，

所以函数在上单调递增，

故，

即， 可知，

故，命题得证.