Question

已知⊙M：x²+（y-2）²=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切⊙M于A、B两点．
（1）如果，求直线MQ的方程；
（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据P是AB的中点，可求得|MP|，进而利用射影定理可知|MB|²=|MP|•|MQ|求得|MQ|，进而利用勾股定理在Rt△MOQ中，求得|OQ|则Q点的坐标可得，进而可求得MQ的直线方程．
（2）连接MB，MQ，设P（x，y），Q（a，0），点M、P、Q在一条直线上，利用斜率相等建立等式，进而利用射影定理|MB|²=|MP|•|MQ|，联立消去a，求得x和y的关系式，根据图形可知y＜2，排除．进而可求得动弦AB的中点P的轨迹方程．
解答：解：（1）由P是AB的中点，|AB|=，
可得|MP|=．
由射影定理，得|MB|²=|MP|•|MQ|，得|MQ|=3．
在Rt△MOQ中，|OQ|=．
故Q点的坐标为（，0）或（，0）．
所以直线MQ的方程是或．
（2）连接MB，MQ，设P（x，y），Q（a，0），点M、P、Q在一条直线上，
得．①
由射影定理，有|MB|²=|MP|•|MQ|，
即．②
由①及②消去a，可得和．
又由图形可知y＜2，
因此舍去．
因此所求的轨迹方程为（y＜2）．
点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系，求轨迹方程问题．解题过程中灵活利用了射影定理．