Question

甲，乙两人投篮，甲每次投进的概率为0.7，乙每次投进的概率为a，甲，乙各投篮3次，每人每次投篮的结果相互独立．
（I）若甲3次投监投进的次数大于1的概率比乙3次都投进的概率大0.659，求a的值；
（II）在（I）的条件下，求甲、乙反进次数相同，且都不超过1次的概率．

Answer 1

解：（I）∵甲，乙各投篮3次，每人每次投篮的结果相互独立，
设甲投篮三次，投进i次为事件A_i，乙投篮3次，投进i次为事件B_i，
∵甲3次投监投进的次数大于1的概率比乙3次都投进的概率大0.659，
∴P（A₂+A₃）-P（B₃）=0.659，
∴C₃²×0.3×0.7²+0.7³-a³=0.659
∴a=0.5
（II）甲、乙投进次数相同，且都不超过1次，包括两种情况，
一是两个人都投进0次，二是两个人都投进1次，这两种情况是互斥的，
∴P（A₀A₀+A₁A₁）=P（A₀）P（B₀）+P（A₁）P（B₁）
=0.3³×0.5³+C₃¹×0.3²×0.7C₃¹×0.5²=0.07425
分析：（I）甲，乙各投篮3次，每人每次投篮的结果相互独立，设出要用的事件，根据甲3次投监投进的次数大于1的概率比乙3次都投进的概率大0.659，根据互斥事件和独立重复试验的概率公式，得到结果．
（II））甲、乙投进次数相同，且都不超过1次，包括两种情况，一是两个人都投进0次，二是两个人都投进1次，这两种情况是互斥的，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率公式得到结果．
点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查独立重复试验的概率公式，考查利用概率知识解决实际问题的能力．