Question

（20）设、分别是椭圆的左、右焦点.

       （Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;

       （Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.     

Answer 1

本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力。

解：（Ⅰ）解法一：易知

所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值

当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值

解法二：易知，所以，设，则

（以下同解法一）

（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，

联立，消去，整理得：

∴

由得：或

又

∴

又

∵，即  ∴

故由①、②得或