Question

在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则△ABC的形状是什么？

Answer 1

分析：三角形ABC的形状为直角三角形，理由为：利用正弦定理和差化积公式把原式化简可得cos（A-B）=cosC，从而得到A=B+C或B=A+C，再由三角形内角和定理可得A为直角或B为直角，即可得到三角形形状为直角三角形．

解答：解：△ABC的形状是直角三角形，理由如下：
在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，且

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
则sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，
∴sin2A+sin2B=sin2C，
∴2sin（A+B）cos（A-B）=2sinCcosC，又sin（A+B）=sinC，
∴cos（A-B）=cosC，
∴A-B=C或B-A=C，即A=B+C，或B=A+C．
再根据A+B+C=π，可得A=

π

2

或B=

π

2

，
则△ABC的形状是直角三角形．

点评：本题考查正弦定理，和差化积公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角形内角和定理，根据正弦定理，三角函数的恒等变形以及和差化积公式得出cos（A-B）=cosC是解题的关键．