Question

已知椭圆的两焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），P为椭圆上一点，且2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F₂F₁P=120°，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析：（1）根据2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，求出a，结合焦点坐标求出c，从而可求b，即可得出椭圆方程；
（2）求出直线方程与椭圆方程联立，可得P的坐标，利用三角形的面积公式，可求△PF₁F₂的面积．

解答：解：（1）依题意得|F₁F₂|=2，
又2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，
∴|PF₁|+|PF₂|=4=2a，
∴a=2，
∵c=1，
∴b²=3．
∴所求椭圆的方程为

x 2

4

+

y 2

3

=1．----------（3分）
（2）设P点坐标为（x，y），
∵∠F₂F₁P=120°，
∴PF₁所在直线的方程为y=（x+1）•tan 120°，
即y=-

3

（x+1）．----------（4分）
解方程组

y=- 3 x+1 x 2 4 + y 2 3 =1

并注意到x＜0，y＞0，可得

x=- 8 5 y= 3 3 5

---------（6分）
∴S_△PF1F2=

1

2

|F₁F₂|•

3 3

5

=

3 3

5

．----------（8分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．