Question

从圆x²+y²=4上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q，点M在线段PQ上，且

QM

=λ

QP

(0＜λ＜1)．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）如果点A（-3，4）关于直线y=x+4的对称点B在曲线C上，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M（x，y），欲求点M的轨迹C的方程，即寻找x，y之间 的关系式，利用向量间的关系求出P点的坐标后代入圆的方程即可得；
（Ⅱ）先求出点A（-3，4）关于直线y=x+4的对称点B，后将B的坐标代入曲线C的方程即可求得λ．

解答：解：（I）设M（x，y），由题意Q（x，0），P（x，y₁）（2分）
由

QM

=λ

QP

(0＜λ＜1)得，
（0，y）=λ（0，y₁），所以y1=

y

λ

，（4分）
∵P（x，y₁）在圆x²+y²=4上，
∴点M的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

4λ2

=1(0＜λ＜).（6分）
（II）设点B（m，n），依题意有

n-4 m+3 =-1 n+4 2 = m-3 2 +4

，（9分）
解得m=0，n=1，B（0，1）（11分）
由B在曲线C上得，λ=

1

2

（13分）

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题，本题考查了利用相关点法求轨迹方程，相关点法  根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．