Question

设函数f_n（θ）=sinⁿθ+（-1）ⁿcosⁿθ，0≤θ≤，其中n为正整数。
（1）判断函数f₁（θ）、f₃（θ）的单调性，并就f₁（θ）的情形证明你的结论；
（2）证明：2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）；
（3）对于任意给定的正奇数n，求函数f_n（θ）的最大值和最小值。

Answer 1

解：（1）在上均为单调递增的函数，
对于函数，设，，
则，
∵，
∴
∴函数在上单调递增；
（2）∵原式左边= 　　
　　
，
又原式右边=，
∴；
（3）当n=1时，函数在上单调递增，　　　　　　　
∴的最大值为，最小值为，
当n=3时，函数在上为单调递增，　
∴的最大值为，最小值为，
下面讨论正奇数n≥5的情形：对任意且，

以及，　　　　　　　
∴，
从而，
∴在上为单调递增，　　　　　　　
则的最大值为，最小值为，
综上所述，当n为奇数时，函数的最大值为0，最小值为-1。