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    某单位为普及奥运知识，根据问题的难易程度举办A，B两种形式的知识竞猜活动． A种竞猜活动规定：参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个，答对5个或6个，可获其它奖品；B种竞猜活动规定：参赛者依次回答问题，答对一个就结束竞猜且最多可回答6个问题，答对一个问题者可获福娃一个．假定参赛者答对每个题的概率均为
    14
    ．
    （I）求某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率；
    （II）设某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为η，求Eη．
    分析：（1）参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个，依题意答对一题的概率为
    1
    4
    ，则根据独立重复试验公式得到结果．
    （2）根据题意得到变量的可能取值，根据变量对应的事件，解出概率，写出分布列和期望，在解期望时，这几项的和解题较困难，因此要构造新数列，利用错位相减得到结果．
    解答：解：（I）∵参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个
    设事件“某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品”为事件M，
    依题意答对一题的概率为
    1
    4
    ，则根据独立重复试验公式得到
    P（M）=
    C
    4
    6
    (
    1
    4
    )4(1-
    1
    4
    )2
    =15×
    9
    46
    =
    135
    46
    =
    135
    4096
    ．
    （II）依题意，某人参加B种竞猜活动，结束时答题数η=1，2，3，4，5，6，
    则P(η=1)=
    1
    4
    ，
    P(η=2)=
    3
    42
    ，
    P(η=3)=
    9
    43
    ，
    P(η=4)=
    27
    44
    ，
    P(η=5)=
    81
    45
    ，
    P(η=6)=
    243
    45
    ．
    ∴η的分布列是
    精英家教网∴Eη=1×
    1
    4
    +2×
    3
    4
    ×
    1
    4
    ++5×(
    3
    4
    )    4    ×
    1
    4
    +6×(
    3
    4
    )    5
    设S=1+2×
    3
    4
    +3×(
    3
    4
    )    2    ++5×(
    3
    4
    )    4    ，
    则
    3
    4
    S=
    3
    4
    +2×(
    3
    4
    )2+3×(
    3
    4
    )3+4×(
    3
    4
    )4+5×(
    3
    4
    )5
    ∴
    1
    4
    S=1+
    3
    4
    +(
    3
    4
    )2+(
    3
    4
    )3+(
    3
    4
    )4-5×(
    3
    4
    )5    =
    1-(
    3
    4
    )    5
    1
    4
    -5×(
    3
    4
    )5    ，
    ∴Eη=
    1-(
    3
    4
    )    5
    1
    4
    -5×(
    3
    4
    )5+6×(
    3
    4
    )5    =
    46-36
    45
    =
    3367
    1024
    ．
    即某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率为
    135
    4096
    ；
    某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为η，Eη为
    3367
    1024
    ．
    点评：本题是一个综合问题，考查离散型随机变量的分布列和期望并且结合数列求和的问题，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．
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    （I）求某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率；
    （II）设某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为η，求Eη．

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