Question

已知椭圆C₁：（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A、B，P是双曲线C₂：=1右支x轴上方的一点，连接AP交椭圆于点C，连接PB并延长交椭圆于点D．
（1）若a=2b，求椭圆C₁及双曲线C₂的离心率；
（2）若△ACD和△PCD的面积相等，求点P的坐标（用a，b表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据a=2b，结合椭圆中，，双曲线中，，即可求得椭圆C₁及双曲线C₂的离心率；
（2）设P、C的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），根据△ACD和△PCD的面积相等，可得，，分别代入椭圆、双曲线方程，联立方程，即可求得点P的坐标．
解答：解：（1）∵a=2b，∴在椭圆C₁：（a＞b＞0）中，
∴椭圆C₁的离心率为；
在双曲线C₂中，，
∴双曲线C₂的离心率为；
（2）设P、C的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁）
由题意知A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）
∵△ACD和△PCD的面积相等，
∴|AC|=|PC|
∴，
代入椭圆C₁：得①
∵P（x，y）是双曲线C₂：=1右支x轴上方的一点，
∴②
②代入①化简可得
∴x=2a或-a（舍去）
∴
∴点P的坐标为（2a，b）．
点评：本题考查椭圆与双曲线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，解题的关键是利用△ACD和△PCD的面积相等，寻求坐标之间的关系．