Question

若存在正数x，使2^x+a＞4^x成立，则实数a的取值范围是

（0，+∞）

．

Answer 1

分析：令t=2^x，则t＞1，不等式即 a＞t²-t=(t-

1

2

)2-

1

4

＞(1-

1

2

)2-

1

4

=0，由此可得实数a的取值范围．

解答：解：令t=2^x，由于x是正数，故t＞2⁰=1，即t＞1．
由条件可得 a＞t²-t=(t-

1

2

)2-

1

4

，由于二次函数 h（t）=(t-

1

2

)2-

1

4

在（1，+∞）上是增函数，
故有h（t）=(t-

1

2

)2-

1

4

＞h（1）=0，
故有a＞0，故实数a的取值范围是 （0，+∞），
故答案为 （0，+∞）．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．