Question

设数列{a_n}是等差数列，{b_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁=b₁，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{

an

bn

}的前n项和为S_n，试比较S_n与4的大小关系．

Answer 1

（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则依题意有q＞0且

1+2d+q4=21 1+4d+q2=13

解得d=2，q=2．
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1．
（2）

an

bn

=

2n-1

2n-1

．
Sn=1+

3

21

+

5

22

++

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

，①
∴2Sn=2+3+

5

2

++

2n-3

2n-3

+

2n-1

2n-2

，②
②-①得Sn=2+2+

2

2

+

2

22

++

2

2n-2

-

2n-1

2n-1

=2+2×(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-2

)-

2n-1

2n-1

=2+2×

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n-1

=6-

2n+3

2n-1

．
S_n-4=2-

2n+3

2n-1

，
由S_n-4＜0得出2ⁿ＜2n+3，解得n=1，2，3，
由S_n-4＞0得出2ⁿ＞2n+3，解得n=4，5，6，…．
所以当n≤3时S_n＜4，当n≥4时S_n＞4．