Question

过抛物线C：x²=4y的焦点F作直线l，交C于A，B两点．若F恰好为线段AB的三等分点，则直线l的斜率k=

2

4

或-

2

4

．

Answer 1

分析：由抛物线C：x²=4y得焦点F（0，1）．设A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)．由于F恰好为线段AB的三等分点，利用向量可得

AF

=2

FB

，或

AF

=

1

2

FB

．即可得到横坐标之间的关系．另一方面可得直线l的方程为y=kx+1，与抛物线的方程联立即可得到根与系数的关系，即可解出k的值．

解答：解：由抛物线C：x²=4y得焦点F（0，1）．
设A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)．∵F恰好为线段AB的三等分点，∴

AF

=2

FB

，或

AF

=

1

2

FB

．
①当

AF

=2

FB

时，得-x₁=2x₂，由直线l的方程为y=kx+1，与抛物线方程联立得

y=kx+1 x2=4y

，消去y得到x²-4kx-4=0，得到x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
联立

-x1=2x2 x1+x2=4k x1x2=-4

，解得k=±

2

4

．
②当

AF

=

1

2

FB

时，同上，k=±

2

4

．
故答案为±

2

4

．

点评：本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线的相交关系、根与系数的关系、向量的共线、三等分点等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．