Question

如图所示，已知点P是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱A₁D₁上的一个动点，设异面直线AB与CP所成的角为α，则cosα的最小值是

 

．

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系，可得cosα=|cos＜

AB

，

CP

＞|，由函数的最值可得答案．

解答：解：以D为坐标原点，DA，DC，DD₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（x，0，1），其中0≤x≤1，
∴

AB

=（0，1，0），

CP

=（x，-1，1），
∴cosα=|cos＜

AB

，

CP

＞|=

1

x2+2

，
可知当x=1，即P与A₁重合时，cosα=

1

x2+2

取最小值

3

3

．
故答案为：

3

3

点评：本题考查异面直线所成的角，涉及函数的最值得求解，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．