Question

已知椭圆的一条准线为x=-4，且与抛物线y²=8x有相同的焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P是该椭圆的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点恰好落在由该椭圆的两个焦点、两个短轴顶点所围成的四边形区域内（包括边界），求此时直线l斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意，得，且c=2，可求得a，b，从而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+4）．将其代入代入椭圆得到关于x的二次方程，其根的判别式大于0得k的取值范围，再依据线段MN的中点恰好落在由该椭圆的两个焦点、两个短轴顶点所围成的四边形区域内（包括边界），得到不等关系求得k的范围，最后求出它们的交集即可．
解答：解：（Ⅰ）依题意，得，且c=2，
可求得a=2，b=2，
易知椭圆的方程为；
（Ⅱ）椭圆的左准线方程为x=-4，点P的坐标（-4，0），
显然直线l的斜率k存在，所以直线l的方程为y=k（x+4）．
设点M、N的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）线段MN的中点为E（x，y），
将y=k（x+4）代入椭圆，得（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0．①
由△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0解得．②
，
于是，
因为，所以点E不可能在y轴的右边，
又直线F₁B₂、F₁B₁，方程分别为y=x+2，y=-（x+2），
则必有，
即，
亦即．
解得，此时②也成立．
点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等   突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高．