Question

双曲线C₁：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C₂：x2=-2py（p＞0）的焦点为F，C₁与C₂的一个交点为A，知A在x轴上的射影为F₁，且A、F、F₂三点共线，则双曲线C₁的离心率为    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出F₁、F₂，F点的坐标，根据A在x轴上的射影为F₁以及A在抛物线上求出A的坐标；再根据A、F、F₂三点共线，求出c=p；再结合A在双曲线上以及a²+b²=c²即可求出双曲线C₁的离心率．
解答：解：由题可设：F₁（-c，0），F₂（c，0），F（0，-）．
∵A在x轴上的射影为F₁，
∴A的横坐标为-c，代入抛物线方程得A（-c，-）．
∵A、F、F₂三点共线，
∴⇒⇒c=p   ①．
因为A在双曲线上，所以：     ②
又∵a²+b²=c²  ③
联立 ①②③解得：c=a．
∴e==．
故答案为：．
点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键点在于利用A在x轴上的射影为F₁以及A在抛物线上求出A的坐标；再根据A、F、F₂三点共线，求出c=p．