Question

已知函数
（1）已知函数f（x）经过（0，8），（-1，1），（1，16）三点，求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的定义域和值域；
（3）确定函数的单调区间．

Answer 1

解：（1）∵过（0，8），（-1，1），（1，16）三点，
∴，即：，
解方程组得：，
∴．
（2）∵对于任意x∈R都有意义，
∴的定义域为R．
设u=-x²+2x+3，则f（x）=2^u，
当x∈R时，由二次函数性质知u∈（-∞，4]，
所以f（x）=2^u，u∈（-∞，4]，
根据f（x）=2^u为指函数性质可知：f（x）∈（-∞，16]．
（3）由（2）知：设u=-x²+2x+3，则f（x）=2^u，u∈（-∞，4]
①当x∈（-∞，1]时，随x增大，u增大，
从指数函数性质知：随u增大，f（x）=2^u也增大，
所以在（-∞，1]上为增函数．
②当x∈[1，+∞）时，随x增大，u减小，
从指数函数性质知：随u减小，f（x）=2^u也减小，
所以在（-∞，1]上为减函数．
分析：（1）把（0，8），（-1，1），（1，16）三点分别代入，能够求出f（x）的解析式．
（2）由对于任意x∈R都有意义，知的定义域为R．设u=-x²+2x+3，则f（x）=2^u，利用二次函数的性质求出u∈（-∞，4]，再由指函数性质能求出f（x）的值域．
（3）设u=-x²+2x+3，则f（x）=2^u，u∈（-∞，4]，利用复合函数的单调性的性质，能求出f（x）的单调区间．
点评：本题考查函数的解析式、定义域、值域和单调区间的求法，解题时要认真审题，注意待定系数法、换元法、二次函数的性质和指数函数的性质的灵活运用．