练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    阅读不等式5x≥4x+1的解法：
    解：由5x≥4x+1，两边同除以5x可得1≥(
    4
    5
    )x+(
    1
    5
    )x    ．
    由于0＜
    1
    5
    ＜
    4
    5
    ＜1    ，显然函数f（x）=（
    4
    5
    ）x+（
    1
    5
    ）x在R上为单调减函数，
    而f(1)=
    4
    5
    +
    1
    5
    =1    ，故当x＞1时，有f（x）=（
    4
    5
    ）x+（
    1
    5
    ）x＜f（x）=1
    所以不等式的解集为{x|x≥1}．
    利用解此不等式的方法解决以下问题：
    （1）解不等式：9x＞5x+4x；
    （2）证明：方程5x+12x=13x有唯一解，并求出该解．
    分析：（1）根据阅读内容提供的方法，设f(x)=(
    5
    9
    )    x    +(
    4
    9
    )    x    ，将不等式变形并利用f（x）的单调性和f（1）=1，即可求出原不等式的解集；
    （2）方程的两边同除以13x，得（
    5
    13
    ）x+（
    12
    13
    ）x=1，利用函数g(x)=(
    5
    13
    )    x    +(
    12
    13
    )    x    的单调性和g（2）=1，即可证出原方程有唯一解x=2．
    解答：解：（1）由9x＞5x+4x，两边同除以9x可得1≥(
    5
    9
    )    x    +(
    4
    9
    )    x    ．
    ∵0＜
    4
    9
    ＜
    5
    9
    ＜1    ，∴函数f(x)=(
    5
    9
    )x+(
    4
    9
    )x    在R上为单调减函数，
    ∵f(1)=
    4
    9
    +
    5
    9
    =1    ，
    ∴当x＞1时，f（x）=(
    5
    9
    )    x    +(
    4
    9
    )    x    ＜f（1）=1，
    因此，原不等式的解集为{x|x＞1}．
    （2）方程有唯一解x=2，证明如下：
    将方程两边同除以13x，可得（
    5
    13
    ）x+（
    12
    13
    ）x=1，
    ∵0＜
    5
    13
    ＜
    12
    13
    ＜1    ，可得函数g（x）=（
    5
    13
    ）x+（
    12
    13
    ）x在R上为单调减函数，
    ∵g(2)=(
    5
    13
    )    2    +(
    12
    13
    )    2    =1    ，
    ∴当x＞2时，g（x）=（
    5
    13
    ）x+（
    12
    13
    ）x＜g（2），即（
    5
    13
    ）x+（
    12
    13
    ）x＜1；
    且当x＜2时，g（x）=（
    5
    13
    ）x+（
    12
    13
    ）x＞g（2），（
    5
    13
    ）x+（
    12
    13
    ）x＞1．
    由此可得，有且仅有x=2能使等式成立，即x=2为方程5x+12x=13x的唯一解．
    点评：本题给出解关于x的指数方程的例题，要求我们根据该例题解关于x的指数方程和不等式．着重考查了指数函数的单调性和类比推理的一般方法等知识，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读不等式2x+1＞3x的解法：
    设f(x)=(
    2
    3
    )x+(
    1
    3
    )x    ，函数y=(
    2
    3
    )x    和y=(
    1
    3
    )x    在R内都单调递减；则f（x）在（-∞，+∞）内单调递减．
    ∵f（1）=1，∴当x＜1时，(
    2
    3
    )x+(
    1
    3
    )x＞1，当x≥1时，(
    2
    3
    )x+(
    1
    3
    )x≤1    ．
    ∵3x＞0，∴不等式2^+1＞3x的解为x＜1；
    （1）试利用上面的方法解不等式2x+3x≥5x；
    （2）证明：3x+4x=5x有且仅有一个实数解x=2．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    阅读不等式2x+1＞3x的解法：
    设数学公式，函数数学公式和数学公式在R内都单调递减；则f（x）在（-∞，+∞）内单调递减．
    ∵f（1）=1，∴数学公式．
    ∵3x＞0，∴数学公式；
    （1）试利用上面的方法解不等式2x+3x≥5x；
    （2）证明：3x+4x=5x有且仅有一个实数解x=2．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    阅读不等式2x+1＞3x的解法：
    设f(x)=(
    2
    3
    )x+(
    1
    3
    )x    ，函数y=(
    2
    3
    )x    和y=(
    1
    3
    )x    在R内都单调递减；则f（x）在（-∞，+∞）内单调递减．
    ∵f（1）=1，∴当x＜1时，(
    2
    3
    )x+(
    1
    3
    )x＞1，当x≥1时，(
    2
    3
    )x+(
    1
    3
    )x≤1    ．
    ∵3x＞0，∴不等式2^+1＞3x的解为x＜1；
    （1）试利用上面的方法解不等式2x+3x≥5x；
    （2）证明：3x+4x=5x有且仅有一个实数解x=2．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案