Question

已知不等式|x+3|＞2|x|①

x+2

x2-3x+2

≥1，②2x²+mx-1＜0③．
（1）若同时满足①②的x的值也满足不等式③，求实数m的取值范围．
（2）若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：先解出①②的解集，再研究两个集合的关系．
（1）“若同时满足①②的x的值也满足不等式③，”即为“2x²+mx-1＜0在A∩B上成立”，然后由方程2x²+mx-1=0的一根小于0，大于等于3求解．
（2）“若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个”即：“2x²+mx-1＜0在A∪B上成立”，然后由方程2x²+mx-1=0的两根应在区间[-1，4]上求解．

解答：解：①的解集为A={x|-1＜x＜3}，
②的解集为B={x|0≤x＜1或2＜x≤4}
A∩B={x|0≤x＜1或2＜x＜3}，A∪B={x|-1＜x≤4}（4分）
（1）根据题意，则方程2x²+mx-1=0的一根小于0，大于等于3．（5分）
设f（x）=2x²+mx-1，则

f(0)＜0 f(3)≤0

?m≤-

17

3

（7分）
（2）根据题意，则方程2x²+mx-1=0的两根应在区间[-1，4]上．（8分）
设f（x）=2x²+mx-1，则

f(-1)≥0 f(4)≥0 △＞0 -1＜- m 4 ＜4

?-

31

4

≤m≤1（12分）

点评：本题主要考查集合的运算及不等式成立的基本解法．