练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知数列{an} 满足：a1=1，a2=
    1
    2
    ，，且an+2=
    an+12
    an+an+1
    （n∈N*）．
    （Ⅰ）求证：数列{
    an
    an+1
    }    为等差数列；
    （Ⅱ）求数列{an} 的通项公式；
    （Ⅲ）求下表中前n行所有数的和Sn
    a1a1
    a2

    a1a2
    a3
     
    a2a1
    a3

    …
    a1an
    an+1
      
    a2an-1
    an+1
    … … 
    ana1
    an+1
    ．
    分析：（Ⅰ）由条件a1=1，a2=
    1
    2
    ，an+2=
    an+12
    an+an+1
    （n∈N*），得
    an+2
    an+1
    =
    an+1
    an+an+1
    ．所以
    an+1
    an+2
    -
    an
    an+1
    = 1    ，由此能够证明数列{
    an
    an+1
    }    为等差数列．
    （Ⅱ）由
    an
    an+1
    =
    a1
    a2
    +(n-1)•1=n+1    ，知
    a1
    an
    =
    a1
    a2
    •
    a2
    a3
    …
    an-1
    an
    =2×3×…×n=n!，由此能求出an=
    1
    n!
    ．
    （Ⅲ）由
    akan-k+1
    an+1
    =
    (n+1)! 
    k!(n-k+1)!
    ，（k=1，2，3，…，n），知第n行各数之和 
    a1an
    an+1
    +
    a2an-1
    an+1
    +…+
    ana1
    an+1
    =2n+1-2．由此能求出表中前n行所有数的和Sn．
    解答：解：（Ⅰ）由条件a1=1，a2=
    1
    2
    ，an+2=
    an+12
    an+an+1
    （n∈N*），
    得
    an+2
    an+1
    =
    an+1
    an+an+1
    ．
    ∴
    an+1
    an+2
    -
    an
    an+1
    = 1    ，
    ∴数列{
    an
    an+1
    }    为等差数列．
    （Ⅱ）由（Ⅰ）得
    an
    an+1
    =
    a1
    a2
    +(n-1)•1=n+1    ，
    ∴
    a1
    an
    =
    a1
    a2
    •
    a2
    a3
    …
    an-1
    an
    =2×3×…×n=n!，
    ∴an=
    1
    n!
    ．…（8分）
    （Ⅲ）∵
    akan-k+1
    an+1
    =
    (n+1)! 
    k!(n-k+1)!
    ，（k=1，2，3，…，n）  …（10分）
    ∴第n行各数之和 
    a1an
    an+1
    +
    a2an-1
    an+1
    +…+
    ana1
    an+1

    =Cn+11+Cn+21+…+Cn+1n
    =2n+1-2．
    ∴表中前n行所有数的和
    Sn=（22-2）+（23-2）+…+（2n+1-2）
    =（22+23+…+2n+1）-2n
    =
    22(2n-1)
    2-1
    -2n
    =2n+2-2n-4．（n=1，2，…）…（12分）
    点评：本题考查等差数列的证明和数列驼项公式的求法和求数列的前n项和．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源：山东省枣庄市2010届高三年级调研考试数学文科试题 题型：044

    已知数列{an}满a1＝1，任意n∈N*，有a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝pn(p为常数)

    (1)求p的值及数列{an}的通项公式；

    (2)令bn＝anan+1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案