Question

已知f（x）=（

x

+

2

）²（x≥0），又数列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=2，这个数列的前n项和的公式S_n（n∈N^*）对所有大于1的自然数n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

an+12+an2

2an+1an

（n∈N^*），求证

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n-n）=1．

Answer 1

分析：（1）由于已知条件给出的是S_n与S_n-1的函数关系，而要求的是a_n的通项公式，故关键是确定S_n．知道S_n后，能够导出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=

an+12+an2

2an+1an

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，知b₁+b₂+b₃++b_n-n=1-

1

2n+1

．从而能够导出

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n-n）=1．

解答：解：（1）∵f（x）=（

x

+

2

）²，
∴S_n=（

Sn-1

+

2

）²．
∴

Sn

-

Sn-1

=

2

．又

a1

=

2

，
故有

Sn

=

2

+（n-1）

2

=n

2

，
即S_n=2n²（n∈N^*）．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2；
当n=1时，a₁=2，适合a_n=4n-2．
因此，a_n=4n-2（n∈N^*）．
（2）∵b_n=

an+12+an2

2an+1an

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴b₁+b₂+b₃++b_n-n=1-

1

2n+1

．
从而

lim

n→∞

（b₁+b₂++b_n-n）=

lim

n→∞

（1-

1

2n+1

）=1．

点评：本题考查数列的极限及其应用，解题时要注意数列的性质的灵活运用．