Question

（16分）已知函数的导数为. 记函数 k为常数）.

    （1）若函数f(x)在区间上为减函数，求的取值范围；

  （2）求函数f(x)的值域.

Answer 1

解析：（1）因为f(x)在区间上为减函数，

所以对任意的且恒有成立.

即恒成立. …………………………3分

因为，所以对且时，恒成立.

又<1，所以                    …………………………6分

（2）.             …………………………7分

下面分两种情况讨论：

（1）当时，是关于x的增函数，值域为

…………………………9分

（2）当时，又分三种情况：

①当时，因为，所以即.

所以f(x)是减函数，.

又，

当，所以f(x)值域为.     ………………………10分

②当k=1时，，

且f(x)是减函数，故f(x)值域是.               ………………………12分

③当时，是增函数，，

.

下面再分两种情况：

（a）当时，的唯一实根，故，

是关于x的增函数，值域为；

（b）当时，的唯一实根，

当时，；当时，；

所以f(x).

故f(x)的值域为.                        ………………………15分

综上所述，f(x)的值域为；（）；

（）；（）.            ………………………16分