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随着现代社会的发展,拥有汽车的家庭越来越多,交通安全显得尤为重要,考取汽车驾驶执照要求也越来越高.某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核,规定:按顺序考核,一旦考核合格,不必参加以后的考核,否则还需参加下次考核.若小明参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
1
7
的等差数列,且他参加第一次考核合格的概率大于
1
2
,他直到参加第二次考核才合格的概率为
15
49
.(1)求小明参加第一次考核就合格的概率;(2)求小明参加考核的次数ξ的分布列和数学期望.
分析:(1)设出小明参加第一次考核就合格的概率,根据他直到参加第二次考核才合格的概率为
15
49
,和小明参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
1
7
的等差数列,写出关系式,得到方程,解方程即可,注意去掉不合题意的.
(2)由(1)知,小明参加每次考核合格的概率依次是
4
7
5
7
6
7
,1
,变量的可能取值是1,2,3,4,根据相互独立事件的概率公式得到变量对应的概率,写出分布列和期望值.
解答:解:(1)设小明参加第一次考核就合格的概率为p,
(1-p)(P+
1
7
•)=
15
49

即49p2-42p+8=O,
解得:P=
2
7
P=
4
7

p=.
2
7
1
2

p=
4
7

即小明参加第一次考核就合格的概率为
4
7

(2)由(1)知,小明参加每次考核合格的概率依次是
4
7
5
7
6
7
,1

∴ξ=1,2,3,4,
P(ξ=1)=
4
7
,P(ξ=2)=
15
49

P(ξ=3)=(1-
4
7
)×(1-
5
7
6
7
=
36
343

P(ξ=4)=(1-
4
7
)×(1-
5
7
)×(1-
6
7
)×1=
6
343

∴ξ的分布列为
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Eξ=1×
4
7
+2×
15
49
+3×
36
343
+4×
6
343
=
538
343
点评:本题考查离散型随机变量的分布列和期望值,考查相互独立事件的概率公式,考查对立事件的概率,本题是一个综合题目,是近几年必出的一道题目.
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