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设直线l与球O有且仅有一个公共点P.从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆O1和圆O2的半径分别为3和2,若这两个半平面α,β所成的二面角为120°.则球O的半径R=
 
分析:由已知中直线l与球O有且仅有一个公共点P.从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆O1和圆O2的半径分别为3和2,若这两个半平面α,β所成的二面角为120°.过P,O1和O2作球的截面,则OO1⊥O1P,OO2⊥O2P,O1PO2=120°,O1P=3,O2P=2,OP=R,根据两角和的余弦公式,可以构造一个关于R有方程,解方程即可求出R的值.
解答:解:∵直线l与球O有且仅有一个公共点P,
则直线l与球O相切于点P,
过P,O1和O2作球的截面,如下图所示
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则O1P=3,O2P=2,OP=R
cos∠O1PO=
3
R
,sin∠O1PO=
R2-9
R

cos∠O2PO=
2
R
,sin∠O2PO=
R2-4
R

∵∠O1PO2=120°
∴cos∠O1PO2=cos∠O1PO•cos∠O2PO-sin∠O1PO•sin∠O2PO=
6-
(R2-9)(R2-4)
R2
=-
1
2

解得R=
2
57
3

故答案为:
2
57
3
点评:本题考查的知识点是二面角的平面角,球的性质,两角和的三角函数,其中P,O1和O2作球的截面,将空间问题转化为平面问题,是解答本题的关键.
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112π
3
112π
3

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