Question

如图，在等腰梯形ABCD中，CD=2，AB=4，AD=BC=，E、F分别为CD、AB中点，沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB=60°，点G为FB的中点．
（1）求证：AG⊥平面BCEF
（2）求DG的长度．

Answer 1

解：（1）∵AF=BF且∠AFB=60°，
∴△ABF是等边三角形
又∵G是FB的中点，∴AG⊥BF
∵翻折前的等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，
∴EF⊥AB，可得翻折后EF⊥AF，EF⊥BF
∵AF、BF是平面ABF内的相交直线，∴EF⊥平面ABF
∵AG?平面ABF，∴AG⊥EF，
∵BF、EF是平面BCEF内的相交直线，
∴AG⊥平面BCEF
（2）取EC中点M，连接MC、MD、MG
∵AF∥DE，AF?平面ABF，DE?平面ABF，∴DE∥平面ABF，同理可得：CE∥平面ABF，
∵DE、CE是平面DCE内的相交直线，∴平面DCE∥平面ABF，可得AG∥DM
∵AG⊥平面BCEF，∴DM⊥平面BCEF，
∵MG?平面BCEF，∴DM⊥MG，
∵梯形BFEC中，EC=FG=BG=1，BF∥EC，∴四边形EFGC是平行四边形，可得EF∥CG
∵EF⊥平面ABF，∴CG⊥平面ABF，可得CG⊥BG
Rt△BCG中，BG=1，BC=，可得CG==1
∴Rt△GCM中，GM==
又∵DM=CE=，
∴Rt△GDM中，DG==
分析：（1）根据翻折后EF⊥AF，EF⊥BF，可得EF⊥平面ABF，所以EF⊥AG，结合等边△ABF中AG⊥BF，利用线面垂直的判定定理，即可证出AG⊥平面BCEF；
（2）取EC中点M，连接MC、MD、MG，可证出平面DCE∥平面ABF，从而AG∥DM，得到DM⊥平面BCEF．再在梯形BFEC中证出四边形EFGC是平行四边形，从而EF∥CG．然后在Rt△BCG中，算出CG=1，在Rt△GCM中，算出GM=，最后在Rt△GDM中，得到DG=．
点评：本题以一个平面翻折问题为载体，证明了线面垂直并且求出了两点之间的距离，着重考查了空间平行、垂直位置关系的证明和距离计算等知识，属于中档题．