Question

5．如图所示，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，左焦点为F，A、B、C为其三个顶点，直线CF与AB交于D点，则tan∠ADF的值等于（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． -3$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{5}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{5}$

Answer 1

分析 根据离心率的值求出$\frac{b}{a}$和$\frac{b}{c}$的值，求得tan∠BAO=$\frac{b}{a}$的值，再求出tan∠OFC=$\frac{b}{c}$的值，代入tan∠ADF=-tan（∠BAO+∠OFC） 进行运算．

解答 解：∵离心率e=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-{e}^{2}}=\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\frac{b}{c}=\frac{b}{\frac{1}{2}a}=\sqrt{3}$．
由图可知，tan∠ADF=-tan（∠BAO+∠OFC），
tan∠BAO=$\frac{BO}{AO}$=$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
tan∠OFC=$\frac{OC}{OF}$=$\frac{b}{c}=\sqrt{3}$，
∴tan∠ADF=-tan（∠BAO+∠OFC）=$-\frac{tan∠BAO+tan∠OFC}{1-tan∠BAO•tan∠OFC}$=3$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，两角和差的正切函数，考查数学转化思想方法，是中档题．