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(2012•徐汇区一模)已知各项为正数的等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am、an使得
aman
=2
2
a1
,则
1
m
+
4
n
的最小值为
11
6
11
6
分析:由题意可得 a6q=a6+2
a6
q
,解得q=2.由
aman
=2
2
a1
可得 m+n=5,再由m、n是正整数,求得
1
m
+
4
n
的最小值.
解答:解:设等比数列的公比为q,则由 a7=a6+2a5 ,可得到 a6q=a6+2
a6
q

由于 an>0,所以上式两边除以a6 得到q=1+
2
q
,解得q=2或q=-1.
因为各项全为正,所以q=2.
由于存在两项 am,an 使得
aman
=2
2
a1
,所以,am•an=8 a12
a1qm-1a1qn-1=8 a12,∴qm+n-2=8,∴m+n=5.
当 m=1,n=4时,
1
m
+
4
n
=2;  当 m=2,n=3时,
1
m
+
4
n
=
11
6
;当 m=3,n=2时,
1
m
+
4
n
=
7
3

当 m=4,n=1时,
1
m
+
4
n
=
17
4

故当 m=2,n=3时,
1
m
+
4
n
取得最小值为
11
6

故答案为
11
6
点评:本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式,属于中档题.
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)
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