Question

12．已知：sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{3}{2}$
sin²5°+sin²65°+sin²125°=$\frac{3}{2}$
sin²（-10°）+sin²50°+sin²110°=$\frac{3}{2}$
通过观察上述等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．

Answer 1

分析 通过所给的等式归纳出一般形式，利用二倍角的余弦公式将等式的左边降幂求出左边的值，即得到证明．

解答 解：一般性的命题为sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=$\frac{3}{2}$…．（6分）
证明：sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=$\frac{1-cos（2α-120°）}{2}$+$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1-cos（2α+120°）}{2}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$[cos（2α-120°）+cos2α+cos（2α+120°）]
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（cos2αcos120°+sin2αsin120°+cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°）
=$\frac{3}{2}$
所以左边等于右边…．（12分）

点评 本题考查通过归纳推理猜想结论；考查利用二倍角的余弦公式将三角函数式进行降幂，属于基础题．