Question

已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P（m，4）到其准线的距离为5，过点F的直线l依次与抛物线E及圆x²+（y-1）²=1交于A、C、D、B四点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）探究|AC|•|BD|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）过点F作一条直线m与直线l垂直，且与抛物线交于M、N两点，求四边形AMBN面积最小值．

Answer 1

分析：（1）由抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P（m，4）到其准线的距离为5，根据抛物线定义得4+

p

2

=5，由此能求出抛物线方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|AC|=|AF|-|CF|=|AF|-1|BD|=|BF|-|DF|=|BF|-1，由抛物线定义得：|AF|=y₁+1|BF|=y₂+1，由此能够推导出|AC|•|BD|=y1y2=

x12

4

•

x22

4

=1为定值．
（3）设直线AB方程：y=kx+1，与抛物线方程联立得：x²-4kx-4=0，由弦长公式|AB|=

1+k2

|x1-x2|=4(1+k2)，同理直线MN方程：y=-

1

k

x+1，与抛物线方程联立得：x2+

4

k

x-4=0，由弦长公式得|MN|=4(1+

1

k2

)，由此能求出四边形AMBN面积最小值．

解答：解：（1）∵抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，
抛物线上一点P（m，4）到其准线的距离为5，
∴根据抛物线定义得4+

p

2

=5，
解得p=2，
∴抛物线方程x²=4y．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
|AC|=|AF|-|CF|=|AF|-1|BD|=|BF|-|DF|=|BF|-1，
由抛物线定义得：|AF|=y₁+1|BF|=y₂+1，
∴|AC|•|BD|=y₁y₂，
设直线AB方程：y=kx+1，
与抛物线方程联立得：x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∴|AC|•|BD|=y1y2=

x12

4

•

x22

4

=1为定值．
（3）设直线AB方程：y=kx+1，
与抛物线方程联立得：x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
由弦长公式|AB|=

1+k2

|x1-x2|=4(1+k2)，
同理直线MN方程：y=-

1

k

x+1，
与抛物线方程联立得：x2+

4

k

x-4=0，
由弦长公式得|MN|=4(1+

1

k2

)，
所以四边形AMBN的面积S=

1

2

|AB||MN|=8(1+k2)(1+

1

k2

)
=8(2+k2+

1

k2

)≥32，
当k=±1时，取“=”．
故四边形AMBN面积最小值为32．

点评：本题考查抛物线方程的求法，探究|AC|•|BD|是否为定值，考查四边形面积最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．