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(13分)在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成,在上定义一个运算,记为,对于中的任意两个元素,,规定:.
(1)计算:;
(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律,并给出证明;
(3)若“中的元素”是“对,都有成立”的充要条件,试求出元素.
(1) . (2)交换律:,证明见解析;(3) .
这是一道新运算类的题目,其特点一般是“新”而不“难”,处理的方法一般为:根据新运算的定义,将已知中的数据代入进行运算,易得最终结果.
(1)由已知α⊙β=(ad+bc,bd-ac),将:(2,3)⊙(-1,4)中参与运算的两个元素代入易得答案.
(2)根据已经学过的数、向量等的交换率,类比给出⊙运算的交换率,结合⊙的定义,不难证明.
(3)根据充要条件的定义,结合⊙的定义,不难得到一个关于I=(x,y)的方程组,解方程组,即可得到答案.
解:(1) . ………3分
(2)交换律:,      ………4分
证明如下:设,,则,
==.
.              ………  8分                 
(3)设中的元素,对,都有成立,
由(2)知只需,即 
①若,显然有成立;     
②若,则,解得,        
∴当对,都有成立时,得,
易验证当时,有对,都有成立………13分
.
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