Question

如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1．在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于N），则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为

 

．

Answer 1

分析：几何体是图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，可得几何体的体积．

解答：解：几何体是图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体，
是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球，
所以圆锥的底面半径是：1，高为

3

，
球的半径为r，tan30°=

OC

BC

=

r

1

r=

3

3

，
所以圆锥的体积：

1

3

×12π×

3

=

3 π

3

，
球的体积：

4

3

π×(

3

3

)3=

4 3 π

27

，
阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为：

5 3

27

π，
故答案为：

5 3

27

π．

点评：本题考查旋转体的体积，组合体的体积的求法，考查空间想象能力，是中档题．