Question

祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的．祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵．利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体．试用祖暅原理推导球的体积公式．

Answer 1

分析：由祖暅原理的内容的提示此题可先观察V_圆锥、V_半球、V_圆柱这三个量（等底等高）之间的不等关系，再构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如图所示．接下来利用祖暅原理证明猜想．

解答：解：我们先推导半球的体积．为了计算半径为R的半球的体积，我们先观察V_圆锥、V_半球、V_圆柱这三个量（等底等高）之间的不等关系，

可以发现V_圆锥＜V_半球＜V_圆柱，即

1

3

πR3＜V_半球＜πR³，根据这一不等关系，我们可以猜测V_半球=

2

3

πR³，并且由猜测可发现V_半球=V_圆柱-V_圆锥．
下面进一步验证了猜想的可靠性．关键是要构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如图所示．下面利用祖暅原理证明猜想．

证明：用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面．
如果截平面与平面α的距离为l，那么圆面半径r=

R2-l2

，圆环面的大圆半径为R，小圆半径为r．
因此S_圆=πr²=π（R²-l²），
S_环=πR²-πl²=π（R²-l²），∴S_圆=S_环．
根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即V_半球=πR2×R-

1

3

πR2×R=

2

3

πR3，
所以V_球=

4

3

πR3．

点评：本题考查祖暅原理、几何体的体积，考查转化思想，是基础题．