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设集合A={x|log
1
2
(x2-7x+14)>-2},B={x|ax-3(
1
a
)
2x-9
,a≥0且a≠1}
,求A∩B.
分析:根据对数函数y=log
1
2
x
在(0,+∞)的单调性,解不等式log
1
2
(x2-7x+14)>-2
,即可求得集合A,利用指数函数y=ax的单调性解不等式ax-3(
1
a
)
2x-9
,即可求得集合B,根据集合的交集运算求得结果.
解答:解:由log
1
2
(x2-7x+14)>-2
得0<x2-7x+14<4,
解得:2<x<5,
∴A={x|2<x<5};
由ax-3(
1
a
)
2x-9
得ax-3≤a9-2x
当0<a<1时,有x-3≥9-2x
∴x≥4,即B={x|x≥4},
此时A∩B={x|4≤x<5};
当a>1时,有x-3≤9-2x,
∴x≤4,即B={x|x≤4},
此时A∩B={x|2<x≤4}.
点评:本题以集合的运算为载体,考查对数函数和指数函数的单调性,并利用函数的单调性求解不等式,体现了分类讨论的数学思想方法,特别在解题过程中注意对数函数的定义域,属中档题.
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