Question

（1）求过直线x+y+4=0与x-y+2=0的交点，且平行于直线 x-2y=0的直线方程．
（2）设直线4x+3y+1=0和圆x²+y²-2x-3=0相交于点A、B，求弦AB的长及其垂直平分线的方程．
（3）过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l₁：2x-y-2=0与l₂：x+y+3=0之间的线段恰被P点平分，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）先联立直线x+y+4=0与x-y+2=0的方程，求交点坐标，因为所求直线平行于直线 x-2y=0，所以斜率与直线x-2y=0的斜率相等，求出斜率，再用点斜式写出方程，化为一般式即可．
（2）把圆方程化为标准方程，求出圆心坐标和半径，再求出圆心到直线4x+3y+1=0的距离，在圆中，半径，半弦，弦心距构成直角三角形，满足勾股定理，就可求出半弦的值，进而求出弦AB的长．
直线l的垂直平分线斜率等于直线l的斜率的负倒数，且过圆心，用点斜式求出方程即可．
（3）先设出M与N两点的坐标，因为P为线段MN的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把M的坐标代入直线l₁，把B的坐标代入直线l₂，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出M的坐标，然后由M和P的坐标，利用两点式即可写出直线l的方程．

解答：解：（1）解方程组

x+y+4=0 x-y+2=0

，得

x=-3 y=1

∴交点坐标为（-3，1），
又∵所求直线平行于直线 x-2y=0，∴斜率为

1

2

∴直线方程为y-1=

1

2

（x+3），即x-2y+5=0
（2）圆x²+y²-2x-3=0可化为（x-1）²+y²=4，∴圆心C的坐标为（1，0），半径为2．
圆心C到直线4x+3y+1=0的距离d=

|4+1|

5

=1
∴

1

2

|AB|=

r2+d2

=

5

，
∴|AB|=2

5

∵直线l的斜率为-

4

3

，∴垂直平分线的斜率为

3

4

又∵直线l的垂直平分线过圆心（1，0），∴方程为y=

3

4

（x-1）
化简得，3x-4y-3=0
（3）设直线l夹在直线l₁，l₂之间的部分是MN，且MN被P（3，0）平分．
设点M，N的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），则有

x1+x2=6 y1+y2=0

又∵M，N两点分别在直线l₁，l₂上，∴

2 x1-y1-2=0 x2+y2+3=0

由上述四个式子得 x₁=

11

3

，y₁=

16

3

，即M点坐标是（

11

3

，

16

3

），
∴直线l的方程为8x-y-24=0．

点评：此题考查了两直线交点的求法，直线平行的充要条件的应用，圆中弦长的求法，直线之间关系的判断，做题时要灵活运用所学知识进行计算．