Question

已知函数．
（1）当a=1时，求上最大及最小值；
（2）当1＜x＜2时，求证（x+1）lnx＞2（x-1）；
（3）若函数在区间（1，2）上不单调________，求a的取值范围．

Answer 1

解：（I）当a=1时，
令f'（x）=0得x=1.，f'（x）＞0，得1＜x≤2，
∴上单调递减，在[1，2]上单调递增
故f_min（x）=f（1）=0，最大值为中的较大者（3分）

易知e³＞16，∴
故f_max（x）=1-ln2（5分）

（II）令F（x）=（x+1）ln-2（x-1）∴．
由（I）知F'（x）在（1，2）上单调递增．∴F'（x）＞F'（1）=0．（7分）
故F（x）在（1，2）上单调递增，∴F（x）＞F（1）=0．
即（x+1）lnx＞2（x-1）（9分）

（III），

∵g（x）在（1，2）上不单调∴x²-ax+1=0在（1，2）上有根且无重根（10分）
即方程，在（1，2）上有根，且无重根．
∴．（12分）
分析：（1）把a=1代入原函数，求出其导函数，找到其在所给区间上的单调性求出极值，再与端点值比较即可求上最大及最小值；
（2）构造新函数F（x）=（x+1）ln-2（x-1），求出其导函数．利用（1）的结论求出新函数的极值（或最值）即可求证（x+1）lnx＞2（x-1）；
（3）先求函数的导函数，把在区间（1，2）上不单调转化为导函数在在区间（1，2）上有根且无重根即可求a的取值范围．
点评：本题的第一问考查了利用导数求闭区间上函数的最值．求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．