Question

（2012•泰州二模）已知α，β是方程x²-x-1=0的两个根，且α＜β．数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，a₂=β，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*），b_n=a_n+1-αa_n．
（1）求b₂-a₂的值；
（2）证明：数列{b_n}是等比数列；
（3）设c₁=1，c₂=-1，c_n+2+c_n+1=c_n（n∈N^*），证明：当n≥3时，a_n=（-1）^n-1（αc_n-2+βc_n）．

Answer 1

分析：（1）α，β是方程x²-x-1=0的两个根，利用韦达定理与b₂=a₃-αa₂，即可求得b₂-a₂的值；
（2）反复利用a_n+2=a_n+1+a_n，可求得

bn+1

bn

=β（定值），b₁=a₂-αa₁=β-α≠0，从而可证数列{b_n}是等比数列；
（3）由（2）知a_n+1-αa_n=（β-α）β^n-1，①又a_n+1=a_n+a_n-1，α+β=1，αβ=-1，可求得得a_n+1-βa_n=0②，从而可得a_n=β^n-1，最后可证得n≥3时，

(-1)n(αcn-1+βcn+1)

(-1)n-1(αcn-2+βcn)

=β，从而可使结论得证．

解答：解：（1）∵α，β是方程x²-x-1=0的两个根，
∴α+β=1，αβ=-1，β²=β+1，由题意知，b₂=a₃-αa₂，
∴b₂-a₂=2．
（2）证明：∵

bn+1

bn

=

an+2-αan+1

an+1-αan

=

an+1+an-αan+1

an+1-αan

=

(1-α)an+1+an

an+1-αan

=

βan+1+an

an+1-αan

=

βan+1-αβan

an+1-αan

=β，
又b₁=a₂-αa₁=β-α≠0，
∴数列{b_n}是首项为β-α，公比为β等比数列；
（3）由（2）知a_n+1-αa_n=（β-α）β^n-1，①
又a_n+1=a_n+a_n-1，α+β=1，αβ=-1，
∴a_n+1=（α+β）a_n-αβa_n-1，
a_n+1-βa_n=α（a_n-βa_n-1），由a₂-βa₁=0，α≠0，得a_n+1-βa_n=0②
由①②得：a_n=β^n-1，
下面我们只要证明：n≥3时，（-1）^n-1（αc_n-2+βc_n）=β^n-1．
∵c_n+2+c_n+1=c_n，β²=β+1，
∴

(-1)n(αcn-1+βcn+1)

(-1)n-1(αcn-2+βcn)

=-

αcn-1+βcn-1-βcn

αcn-2+βcn

=-

cn-1-βcn

αcn-2+βcn

=-

cn-2-cn-βcn

αcn-2+βcn

=-

cn-2-(1+β)cn

αcn-2+βcn

=-

-αβcn-2-β2cn

αcn-2+βcn

=β
∴n≥3时，（-1）^n-1（αc_n-2+βc_n）=β^n-1，即n≥3时，a_n=（-1）^n-1（αc_n-2+βc_n）（证毕）．

点评：本题考查数列递推式，突出考查等比关系的确定，考查抽象思维与逻辑推理的能力，考查转化思想、化归思想与综合运算能力，属于难题．