Question

如图，F₁、F₂是双曲线的左、右焦点，过F₁的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF₂为等边三角形，则双曲线的离心率为

1. A.
   4
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：利用双曲线的定义可得可得|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₂|-|BF₁|=2a，利用等边三角形的定义可得：|AB|=|AF₂|=|BF₂|，．在△AF₁F₂中使用余弦定理可得
：=-，再利用离心率的计算公式即可得出．
解答：∵△ABF₂为等边三角形，∴|AB|=|AF₂|=|BF₂|，．
由双曲线的定义可得|AF₁|-|AF₂|=2a，∴|BF₁|=2a．
又|BF₂|-|BF₁|=2a，∴|BF₂|=4a．
∴|AF₂|=4a，|AF₁|=6a．
在△AF₁F₂中，由余弦定理可得：=-，
∴，化为c²=7a²，
∴=．
故选B．
点评：熟练掌握双曲线的定义、余弦定理、离心率的计算公式是解题的关键．