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直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,AC,BC与平面α分别成30°,45°的角,若S△ABC=10,则△ABC在平面α内的射影构成的三角形的面积为
 
分析:过点C作CH⊥平面α,设CH=h,用h表示三角形ABC的边AB、AC、BC、ABC的斜边AB上的高为x,求出角三角形ABC与平面α成的角为β的正弦值,从而求出β的余弦值,β的余弦值等于射影面积比上直角三角形ABC的面积.
解答:解:过点C作CH⊥平面α,设CH=h,∵AC,BC与平面α分别成30°,45°的角,
∴BC=
2
h
,AC=2h,AB=
6
h,∵直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,
S=
1
2
BC•AC=10,∴h=
5
2
,设直角三角形ABC的斜边AB上的高为x,
由面积法可求 x=
2
3
15
2
,设直角三角形ABC与平面α成的角为β,
sinβ=
h
x
=
3
2
,∴β=600,cos600=
1
2
=
S
S△ABC
=
S
10

∴S=5,即△ABC在平面α内的射影构成的三角形的面积为5;
故答案为5.
点评:本题考查直线与平面所成的角,三角形ABC与平面α成的角余弦值等于射影面积比上直角三角形ABC的面积.
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