Question

直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，AC，BC与平面α分别成30°，45°的角，若S_△ABC=10，则△ABC在平面α内的射影构成的三角形的面积为

 

．

Answer 1

分析：过点C作CH⊥平面α，设CH=h，用h表示三角形ABC的边AB、AC、BC、ABC的斜边AB上的高为x，求出角三角形ABC与平面α成的角为β的正弦值，从而求出β的余弦值，β的余弦值等于射影面积比上直角三角形ABC的面积．

解答：解：过点C作CH⊥平面α，设CH=h，∵AC，BC与平面α分别成30°，45°的角，
∴BC=

2

h，AC=2h，AB=

6

h，∵直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，
S_△=

1

2

BC•AC=10，∴h=

5 2

，设直角三角形ABC的斜边AB上的高为x，
由面积法可求 x=

2

3

15 2

，设直角三角形ABC与平面α成的角为β，
sinβ=

h

x

=

3

2

，∴β=60⁰，cos60⁰=

1

2

=

S′′

S△ABC

=

S′

10

，
∴S^′=5，即△ABC在平面α内的射影构成的三角形的面积为5；
故答案为5．

点评：本题考查直线与平面所成的角，三角形ABC与平面α成的角余弦值等于射影面积比上直角三角形ABC的面积．