Question

设双曲线C：-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q．
（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且•=1，求点T的坐标；
（2）求直线A₁P与直线A₂Q的交点M的轨迹E的方程；
（3）过点F（1，0）作直线l与（2）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设=λ•，若λ∈[-2，-1]，求|+|（T为（1）中的点）的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出P、Q的坐标，求得向量的坐标，利用=1，P（x，y）在双曲线上，即可求得结论；
（2）利用三点共线建立方程，利用P（x，y）在双曲线上，即可求得轨迹方程；
（3）用坐标表示，利用韦达定理，求得模长，从而可得函数关系式，进而可求其范围．
解答：解：（1）由题，得A₁（-，0），A₂（，0），
设P（x，y），Q（x，-y），则，
由=1，可得 …①
又P（x，y）在双曲线上，则   …②
联立①、②，解得x=±2  
由题意，x＞0，∴x=2
∴点T的坐标为（2，0）
（2）设直线A₁P与直线A₂Q的交点M的坐标为（x，y）
由A₁、P、M三点共线，得   …③
由A₂、Q、M三点共线，得   …④
联立③、④，解得x=，y= 
∵P（x，y）在双曲线上，∴
∴轨迹E的方程为（x≠0，y≠0）
（3）由题意直线l的斜率不为0．故可设直线l的方程为x=ky+1代入中，得（k²+2）y²+2ky-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由根与系数的关系，得y₁+y₂=  …⑤y₁y₂=  …⑥
∵，∴有（λ＜0）
将⑤式平方除以⑥式，得，即
由λ∈[-2，-1]，可得
∴，∴
∵=（x₁+x₂-4，y₁+y₂）
∴=（x₁+x₂-4）²+（y₁+y₂）²=16-+
令t=，∵，∴，即t∈[，]
∴=f（t）=8t²-28t+16=8（t-）²-
而t∈[，]，∴f（t）∈[4，]
∴|+|∈[2，]．
点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．