Question

由曲线y=x²与x=y²所围成的曲边形的面积为

1

3

．

Answer 1

分析：由题意，可作出两个曲线y=x²与x=y²的图象，由图象知阴影部分即为所求的面积，本题可用积分求阴影部分的面积，先求出两曲线交点A的坐标，根据曲线确定出被积函数

x?

-x2与积分区间[0，1]，计算出定积分的值，即可出面积曲线y²=x，y=x²所围成图形的面积．

解答：解：作出如图的图象…（2分）
联立

y2=x y=x2

 解得

x=0 y=0

，

x=1 y=1

…（5分）
即点O（0，0），A（1，1）．
故所求面积为：
S=

∫

1 0

(

x

-x2)dx
=(

2

3

x

3

2

- 

1

3

x3)

|

1 0

=

2

3

-

1

3

=

1

3

…（10分）
所以所围成图形的面积S=

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：本题考查了定积分在求面积中的应用，解题的关键是确定出被积函数与积分区间，熟练掌握积分的运算．