Question

设关于x的不等式log₂（|x|+|x-4|）＞a
（1）当a=3时，解这个不等式；
（2）若不等式解集为R，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=3代入不等式可得，log₂（|x|+|x-4|）＞3，结合对数函数的单调性可得|x|+|x-4|＞8，解绝对值不等式即可．
（2）结合绝对值不等式|x|+|y|≥|x+y|可得|x|+|x-4|=|x|+|4-x|≥|x+4-x|=4，从而可得a的取值范围
解答：解：（1）a=3，log₂（|x|+|x-4|）＞3⇒
log₂（|x|+|x-4|）＞log₂8
∴|x|+|x-4|＞8（1分）
当x≥4x+x-4＞8得：x＞6（3分）
当0＜x＜4x+4-x＞8不成立（5分）
当x≤0-x+4-x＞8得：x＜-2（7分）
∴不等式解集为x|x＜-2或x＞6（8分）
（2）|x|+|x-4|≥|x+4-x|=4（10分）
∴log₂（|x|+|x-4|）≥log₂4=2（11分）
∴若原不等式解集为R，则a＜2（12分）
点评：本题主要考查了对数函数的单调性及绝对值不等式的解法，绝对值不等式|x|+|y|≥|x+y|的应用，不等式f（x）＞a恒成立?a＜f（x）_min．