Question

【题目】已知函数f（x）= ，曲线y=f（x）在点（e2 ， f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的解析式及单调递减区间；
（2）若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+ lnxf（x）≤a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）= ，

又由题意有： = ，所以m=2，f（x）= ．

此时，f′（x）= ，由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，

所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1）和（1，e）．

（2）解：因为g（x）=aelnx+ ﹣（a+e）x，

由已知，若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+ lnxf（x）≤a成立，

则只需满足当x∈[e，+∞），g（x）min≤a即可．

又g（x）=aelnx+ ﹣（a+e）x，

则g′（x）= ，

a≤e，则g′（x）≥0在x∈[e，+∞）上恒成立，

∴g（x）在[e，+∞）上单调递增，

∴g（x）min=g（e）=﹣ ，

∴a≥﹣ ，

∵a≤e，

∴﹣ ≤a≤e．

a＞e，则g（x）在[e，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，

∴g（x）在[e，+∞）上的最小值是g（a），

∵g（a）＜g（e），a＞e，∴满足题意，

综上所述，a≥﹣ ．

【解析】（1）由题意有： = ，可得f（x）的解析式；由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，即可求出单调递减区间；（2）由已知，若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+ lnxf（x）≤a成立，则只需满足当x∈[e，+∞），g（x）min≤a即可
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．