Question

13．已知z为复数，$\frac{z+3}{z-3}$为纯虚数，且z在复平面内对应的点为P，求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 设出z=x+yi（x，y∈R），代入$\frac{z+3}{z-3}$，利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部等于0且虚部不等于0求得点P的轨迹方程．

解答 解：设z=x+yi（x，y∈R），
则$\frac{z+3}{z-3}$=$\frac{x+3+yi}{x-3+yi}=\frac{（x+3+yi）（x-3-yi）}{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{（{x}^{2}-9+{y}^{2}）+6yi}{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$．
∵$\frac{z+3}{z-3}$为纯虚数，
∴x²+y²=9（y≠0）．
故点P的轨迹方程为x²+y²=9（y≠0）．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数为纯虚数的条件，是基础题．