Question

3．甲、乙、丙三支球队进行某种比赛，其中两队比赛，另一队当裁判，每局比赛结束时，负方在下一局当裁判．设各局比赛双方获胜的概率均为$\frac{1}{2}$，各局比赛结果相互独立，且没有平局，根据抽签结果第一局甲队当裁判
（Ⅰ）求第四局甲队当裁判的概率；
（Ⅱ）用X表示前四局中乙队当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）第一局无论谁输，第二局都由甲队上场，第四局甲队当裁判（记为事件A），第三局甲队参加比赛（不能当裁判）且输掉（记为事件A₂），可知第二局甲队参加比赛且获胜（记为事件A₁），A₁和A₂都发生，A才发生，由此能求出第四局甲队当裁判的概率．
（Ⅱ）由题意S的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）第一局无论谁输，第二局都由甲队上场，第四局甲队当裁判（记为事件A），
第三局甲队参加比赛（不能当裁判）且输掉（记为事件A₂），可知第二局甲队参加比赛且获胜（记为事件A₁），
∴A₁和A₂都发生，A才发生，即P（A）=P（A₁A₂）=P（A₁）P（A₂）=$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）由题意S的所有可能取值为0，1，2，
记“第三局乙丙比赛，乙胜丙”为事件A₃，“第一局比赛，乙胜丙”为事件B₁，
“第二局乙甲比赛，乙胜甲”为事件B₂，“第三局比赛乙参加比赛，乙负”为事件B₃，
∴P（X=0）=P（B₁B₂A₃）=P（B₁）P（B₂）P（A₃）=$\frac{1}{8}$，
P（X=2）=P（$\overline{{B}_{1}}{B}_{3}$）=P（$\overline{{B}_{1}}$）P（B₃）=$\frac{1}{4}$，
P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=$\frac{5}{8}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{8}$	$\frac{1}{4}$

∴E（X）=$0×\frac{1}{8}+1×\frac{5}{8}+2×\frac{1}{4}$=$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．