Question

已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值为   ▲   .  

 

Answer 1

【答案】

3/5

【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：

设AB=AC=2a，由D是AB的中点，得到AD=DB=a，

在△ADC中，根据余弦定理得：cosA=a²+4a²-3 2×a×2a =5a²-3 /4a₂ ，解得a²=3 /（5-4cosA ），

设△ADC的面积为S，

则S=1 /2 a•2a•sinA=a²sinA=3sinA /5-4cosA   ①，

．下研究求面积的最值

法一：求导得：S′=3cosA(5-4cosA)-12sin2A (5-4cosA)2 =15cosA-12 (5-4cosA)2 ，令S′=0，解得cosA=4/ 5 ，

当cosA＜4 /5 时，S′＞0，S单调递增；当cosA＞4 /5 时，S′＜0，S单调递减，

所以S在cosA=4 5 处取极大值，且极大值为最大值，此时sinA=3 /5