Question

已知圆C的圆心在射线y=2x（x≥0）上，且与x轴相切，被y轴所截得的弦长为2

3

，则圆C的方程是（　　）

A．（x-2）²+（y-4）²=20

B．（x-2）²+（y-4）²=16

C．（x-1）²+（y-2）²=1

D．（x-1）²+（y-2）²=4

Answer 1

分析：根据题意画出相应的图形，过C作CD⊥y轴，交y轴于点D，连接AC，CM，由垂径定理得到AD=

1

2

AB=

3

，设C坐标（a，b），可得出CD=a，CA=CM=b，在直角三角形ACD中，利用勾股定理列出关于a与b的方程，再将C坐标代入y=2x中得到关于a与b的另一个方程，联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，确定出C的坐标，而圆C与x轴相切，得到C的纵坐标即为圆的半径，写出圆的标准方程即可．

解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示，
过C作CD⊥y轴，交y轴于点D，连接AC，CM，
由垂径定理得到AD=

1

2

AB=

3

，
设圆心C坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），可得CD=a，CA=CM=b，
把C坐标代入y=2x得：2a=b①，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：a²+（

3

）²=b²②，
①代入②得：a²+3=4a²，
解得：a=1，b=2，
∴圆心C（1，2），
∵圆C与x轴相切，∴半径r=2，
则圆C方程为（x-1）²+（y-2）²=4．
故选D

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：切线的性质，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，以及圆的标准方程，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．