Question

已知直线l：y=kx-1与双曲线C：x²-y²=4
（1）如果l与C只有一个公共点，求k的值；
（2）如果l与C的左右两支分别相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且|x1-x2|=2

5

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先联立方程，消元后得到一个方程，分类讨论①二次项系数不为0且判别式等于零，②二次项为0两种情况讨论
（2）由弦长公式可得x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( 2k 1-k2 )2-4• -5 1-k2

，结合已知可求k

解答：解：（1）根据题意：

y=kx-1 x2-y2=4

消去y整理得（1-k²）x²+2kx-5=0，
①当1-k²≠0时，由题意可知，△=0，即4k²+20（1-k²）=0
∴k=±

5

2

②当1-k²=0即k=±1时，方程（1-k²）x²+2kx-5=0，有一个根即直线与双曲线有一个公共点，满足条件
综上可得，k=±1，或k=±

5

2

（2）由直线l与C的左右两支分别相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，可得x₁＜0，x₂＞0
∵|x1-x2|=2

5

∴x2-x1=2

5

∵x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( 2k 1-k2 )2-4• -5 1-k2

=2

5

整理可得k²（5k²-6）=0
∴k=0或k=±

30

5

点评：本题主要考查直线与双曲线的位置关系，直线与曲线相交的弦长的求解，在只有一个公共点时，不要忽视了与渐近线平行的情况．