Question

某市为了解决交通拥堵问题，一方面改建道路、加强管理，一方面控制汽车总量增长．交管部门拟从2012年1月起，在一段时间内，对新车上牌采用摇号（类似于抽签）的方法进行控制，制定如下方案：①每月进行一次摇号，从当月所有申请用户以及以前没有摇到号的申请用户中，摇出当月上牌的用户，摇到叼的用户不再参加以后的摇号；②当月没有摇到号的申请者自动加入下一个月的摇号，不必也不能重复申请．预计2012年1月申请车牌的用户有10a个，以后每个月又有a个新用户申请车牌；计划2012年1月车牌a个，以后每月发放车牌数比上月增加5%，以2012年1月为第一个月，设前n（n∈N^*）个月申请车牌用户的总数为a_n，前n个月发放车牌的总数为b_n，使得a_n＞b_n成立的最大正整数为n₀．（参考数据：1.05¹⁶=2.18，1.05¹⁷=2.29，1.05¹⁸=2.41）
（1）求a_n，b_n关于n的表达式，直接写出n₀的值，说明n₀的实际意义；
（2）当n≤n₀，n∈N^*时，设第n个月中签率为yn，求证：

1

10

≤yn＜1．
（第n个月中签率=

第n个月发放车牌数

第n个月参加摇号的用户数

）

Answer 1

分析：（1）前n个月申请车牌用户的总数a_n是等差数列，前n个月发放车牌的总数为b_n是等比数列，求出通项；由a_n＞b_n求得n₀的值即可；
（2）由题意，n=1时，y₁=

b1

a1

，1＜n≤17时，y_n=

bn-bn-1

an-an-1

，则计算

1

yn

-

1

yn-1

＜0，得

1

yn

＜

1

yn-1

，从而得n≤17时，a_n＜b_n，即a_n-a_n-1＞b_n-b_n-1＞0，得0＜y_n＜1，由y_n＞y_n-1≥y₁=

1

10

，所以

1

10

≤y_n＜1．

解答：解：（1）前n个月申请车牌用户的总数为a_n=10a+（n-1）a=（n+9）a，
前n个月发放车牌的总数为b_n=

a(1-1.05n)

1-1.05

=20（1.05ⁿ-1）a；
由a_n＞b_n得，n₀=17；这说明第17个月以后，该项政策可以取消，不需要摇号就可以直接上牌．
（2）由题意，当n=1时，y₁=

1

10

；
当1＜n≤17时，y_n=

bn-bn-1

an-an-1

=

1.05n-1

n+29-20•1.05n-1

，∴y_n=

1.05n-1

n+29-20•1.05n-1

（n∈N^*，n≤17）；
当2≤n≤17时，

1

yn

-

1

yn-1

=

n+29

1.05n-1

-

(n-1)+29

1.05n-2

=

n+29-1.05(n+28)

1.05n-1

=

-0.05n-0.40

1.05n-1

＜0，∴

1

yn

＜

1

yn-1

，∵n∈N^*，且n≤17时，a_n＜b_n，∴a_n-a_n-1＞b_n-b_n-1＞0，∴0＜y_n＜1，∴y_n＞y_n-1；
所以y₁＜y₂＜…＜y₁₇，又y₁=

1

10

，所以

1

10

≤y_n＜1．

点评：本题考查了等差、等比数列的综合运用，也考查了数列与函数、不等式的应用；解题时细心作答，以免出错．